martes, 4 de agosto de 2015

Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos\frac{2n\pi}{T}t + b_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right]
Donde a_n \,\! y b_n \,\! se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x) \,\! 
Definición
Si f(t)\, es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie de Fourier asociada a f(t)\, es:
f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( \frac{2n\pi}{T}t \right) + b_n\sin \left( \frac{2n\pi}{T}t \right) \right]
Donde a_0\,, a_n\, y b_n\, son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
a_0 = \frac{2}{T} \int \limits_{-T/2}^{T/2} f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( \frac{2n \pi}{T} t \right) dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left(\frac{2n\pi}{T}t\right) dt.
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:
f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{2\pi i\frac{n}{T}t}.
Los coeficientes ahora serían:
c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,e^{-2\pi i\frac {n}{T}t}\,dt.
Otra forma de definir la serie de Fourier es:
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos{{\omega_n}{t}} + b_n\sin{{\omega_n}{t}}\right)
donde \omega_n=n\omega y \omega=2{\pi}f=\frac{2{\pi}}{T}
siendo:
a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt, \qquad a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos{{\omega_n}{t}} dt, \qquad b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin {{\omega_n}{t}} dt.
a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

Forma compacta

En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:
f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\,\cos({{\omega_n}t}-\theta_n)
donde
A_0=\frac{a_0}{2}
A_n=\sqrt{a^2_n+b^2_n}
\theta_n=\tan^{-1}\frac{b_n}{a_n}

Forma exponencial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si
C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
\sum_{n=1}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}
En forma más compacta:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}
estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo T=2{\pi} con \omega=1. Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}\,e^{j{\omega_n}t}
donde
c_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,dt=\frac{a_0}{2}
c_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{-j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n-{j}{b_n})
c_{-n}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{j{\omega_n}t}\,dt=\frac{1}{2}(a_n+{j}{b_n})
|c_{n}|=\frac{1}{2}\sqrt{a^2_n+b^2_n}

Formulación moderna

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
\int |f(x)|^2 dx < \infty
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo \scriptstyle [-\pi, \pi] se denota con \scriptstyle L^2([-\pi, \pi]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de \scriptstyle L^2([-\pi, \pi]) pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto \{e_n = e^{i n x}:n\in \mathbb{Z}\} es una base ortonormal del espacio \scriptstyle L^2([-\pi,\pi]). El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
f=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,c_n \rangle e_n.
Donde c_n = \langle f,e_n \rangle son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier c_n, se verifica que:
\Vert f\Vert^2=\ \langle f,f \rangle\ =2 \pi \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2.
En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Formulación general

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.
Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".
Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.
Aplicaciones
  • Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
  • Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
  • Reforzamiento de señales.
  • Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
  • La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
Br. Gustavo Ludewig Escuela 80 Electrónica 

 transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivost ≥ 0, es la función F(s), definida por:
F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución con una singularidad en 0, la definición es
F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{-\varepsilon}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
F_B(s) = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
\mathcal{L} es llamado el operador de la transformada de Laplace.


Linealidad

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Derivación

\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0).
\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \dots - f^{(n - 1)}(0)   = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)

Integración

\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

Dualidad

\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)

Desplazamiento de la frecuencia

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)

Desplazamiento temporal

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
Nota: u(t) es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]

Convolución

\mathcal{L}\{f*g\} = F(s)G(s)

Transformada de Laplace de una función con periodo p

\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Condiciones de convergencia

\mathcal{L}\{(e^{t^2})\} (que crece más rápido que e^{-st}) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que e^{t^2}, es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función  f\in\varepsilon derivable a trozos y que f^{\prime}\in\varepsilon. Entonces :
f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}
\varepsilon es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Seaf\in\varepsilon una función derivable a trozos tal que f^{\prime}\in\varepsilon.Entonces :
f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}
\varepsilon es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Relación con otras transformadas
La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z.
Br. Elisa Pizano Escuela 80 Electrónica 

Transformada Z
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo.
La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define
X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \
donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma
z= A e^{j\omega}
donde A es el módulo de z, y ω es el argumento de ese complejo que bien podría representar la frecuencia angular (pulsación) en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral se define como
X^{+}(z) = Z^{+}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \
En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. En este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con ROC del tipo |z|>R ; es decir que converge "hacia afuera".
Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad.
Br. Víctor Mejías Escuela 80 Electrónica


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